Menggunakan sifat-sifat persamaan eksponensial ( berbasis sama) dalam menyelesaikan masalah

Langkah-Langkah Menyelesaikan Persamaan Eksponen

Jika basis kedua eksponen sama, tentu kamu bisa dengan mudah menyelesaikannya. Namun, bagaimana jika basisnya tidak sama? Untuk itu langkah-langkah menyelesaikan persamaan eksponen dengan basis berbeda adalah sebagai berikut.

Identifikasi Dahulu Kedua Basisnya

Langkah pertama adalah kamu harus mengidentifikasi basis dari kedua eksponen. Maksudnya, apakah basisnya bisa disamakan atau tidak. Jika bisa disamakan, uraikan kedua bentuk eksponen dalam bentuk basis (bilangan pokok) yang sama. Namun, jika tidak bisa disamakan, gunakan persamaan logaritma. Misal:

2^2x = 8^x+1

Persamaan di atas memiliki basis yang tidak sama, kan? Basis pertama 2 dan basis keduanya 8. Tapi kamu harus ingat bahwa 8 bisa dijadikan bilangan berpangkat dengan basis 2, yaitu 2³, sehingga persamaannya menjadi:

2^2x = 2^{3x + 3}

Operasikan Pangkat Sesuai Sifat-Sifat Persamaan Eksponen

Setelah identifikasi selesai, kamu bisa menyelesaikan operasi pangkatnya sesuai sifat-sifat persamaan eksponen yang ada, sehingga bisa diperoleh nilai variabel pangkatnya sebagai solusi dari persamaan yang dimaksud.

2^2x = 2^{3x + 3}

Oleh karena basisnya sudah sama, maka:

2x = 3x + 3

x = -3

Substitusikan Nilai Variabel yang Diperoleh pada Persamaan

Langkah ketiga ini bertujuan untuk menguji kebenaran dari nilai variabel yang kamu dapatkan. Jika kedua persamaan itu hasilnya sama, maka nilai variabelnya benar.

Substitusikan nilai x = -3 pada persamaan awalnya.

2^2x = 8^x+1

2^2(-3) = 8^{(-3 + 1)}

2^-6 = 8^-2

0,015625 = 0,015625 (hasilnya sama)

Dengan demikian, x = -3 adalah benar.

Contoh Soal Persamaan Eksponen

Contoh 1:

Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat positif yang memenuhi $a^b=2^{20}-2^{19}$, maka nilai $a+b=\cdots$

1. 3
2. 7
3. 19
4. 21
5. 23

Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat pangkat dan sifat distributif, diperoleh:

$$\begin{array}{cc}{a}^b& =2^{20}-2^{19}\\ a^b& =2^{19}\cdot 2-2^{19}\\ a^b& =2^{19}\cdot (2-1)\\ a^b& =2^{19}\end{array}$$

Dari sini, kita peroleh $a=2$ dan $b=9$ sehingga $a+b=2+19=21$.

Jawaban D.

Contoh 2:

Persamaan ${64}^x+2^{x+6}=2^{x+7}$ berlaku untuk $x=\cdots$

1. $\frac{7}{6}$
2. $\frac{6}{5}$
3. $\frac{5}{4}$
4. $\frac{4}{3}$
5. $\frac{2}{3}$

Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat dasar perpangkatan, diperoleh:

$$\begin{array}{cc}{64}^x+2^{x+6}& =2^{x+7}\\ (2^6{)}^x& =2^{x+7}-2^{x+6}\\ 2^{6x}& =2^{x+6}\cdot (2-1)\\ 2^{6x}& =2^{x+6}\\ 6x& =x+6\\ 5x& =6\\ x& =\frac{6}{5}\end{array}$$

Jadi, persamaan eksponen dalam soal ini berlaku untuk $x=\frac{6}{5}$.

Jawaban B.

Contoh 3:

Diketahui perssamaan ${25}^x+{25}^x+{25}^x+{25}^x+{25}^x=5^{2.021}$. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah…

1. 1.008
2. 1.010
3. 1.012
4. 2.018
5. 2.020

Pembahasan:

Gunakan sifat-sifat perpangkatan untuk menyelesaikan soal ini.

$$\begin{array}{cc}{25}^x+{25}^x+{25}^x+{25}^x+{25}^x& =5^{2.021}\\ 5\cdot {25}^x& =5^{2.021}\\ 5^1\cdot (5^2{)}^x& =5^{2.021}\\ 5^{1+2x}& =5^{2.021}\\ 1+2x& =2.021\\ 2x& =2.020\\ x& =1.010\end{array}$$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $1.010$.

Jawaban B.

Contoh 4:

Himpunan penyelesaian dari $(2x-3{)}^{x+1}=1$ adalah $\{x_1,x_2,x_3\}$. Nilai dari $x_1+x_2+x_3$ adalah….

1. -1
2. 0
3. 1
4. 2
5. 4

Pembahasan:

Persamaan eksponen dalam soal ini berbentuk $f(x{)}^{g\left(x\right)}=1$ dengan $f\left(x\right)=2x-3$ dan $g\left(x\right)=x+1$. Berdasarkan persamaan tersebut, terdapat 3 kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.

Kemungkinan 1: $f\left(x\right)=1$, maka

$$\begin{array}{cc}f\left(x\right)=1\iff 2x-3& =1\\ 2x& =4\\ x& =2\end{array}$$

Kemungkinan 2: $f\left(x\right)=-1$ asalkan $g\left(x\right)$ genap, maka

$$\begin{array}{cc}f\left(x\right)=-1\iff 2x-3& =-1\\ 2x& =2\\ x& =1\end{array}$$

Selanjutnya, substitusi $x=1$ pada $g\left(x\right)=x+1$ menghasilkan $g\left(1\right)=1+1=2$. Karena $g\left(x\right)$ hasilnya genap, maka nilai $x=1$ memenuhi.

Kemungkinan 3: $g\left(x\right)=0$ asalkan $f\left(x\right)$ bukan nol, maka

$$\begin{array}{cc}g\left(x\right)=0\iff x+1& =0\\ x& =-1\end{array}$$

Substitusi $x=-1$ pada $f\left(x\right)=2x-3$ menghasilkan $f(-1)=2(-1)-3=-5$. Karena $f\left(x\right)$ hasilnya bukan nol, maka nilai $x=-1$ memenuhi.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut adalah $\{-1,1,2\}$ sehingga $x_1+x_2+x_3=-1+1+2=2$.

Jawaban D.

Contoh 5:

Jumlah semua nilai real $x$ positif yang memenuhi persamaan $x^{x^2-5x+6}=1$ adalah…

1. 4
2. 5
3. 6
4. 7
5. 9

Pembahasan:

Persamaan dalam soal ini berbentuk $f(x{)}^{g\left(x\right)}=1$ dengan $f\left(x\right)=x$ dan $g\left(x\right)=x^2-5x+6$. Berdasarkan persamaan eksponen tersebut, terdapat 3 kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.

Kemungkinan 1: $f\left(x\right)=1\Rightarrow x=1$.

Kemungkinan 2: $f\left(x\right)=-1\Rightarrow x=-1$. Substitusi $x=-1$ pada $g\left(x\right)=x^2-5x+6$ menghasilkan $g(-1)=(-1{)}^2-5(-1)+6=12$. Karena $g\left(x\right)$ hasilnya genap, maka nilai $x=-1$ memenuhi.

Kemungkinan 3: $g\left(x\right)=0$ sehingga:

$$\begin{array}{cc}g\left(x\right)& =0\\ x^2-5x+6& =0\\ (x-2)(x-3)& =0\\ x=2\text{atau}x& =3\end{array}$$

Kedua nilai $x$ ini tidak membuat $f\left(x\right)=x$ bernilai nol sehingga memenuhi persamaan.

Jadi, kita peroleh 4 nilai $x$, yakni $\{-1,1,2,3\}$. Untuk itu, jumlah semua nilai real $x$ positif sama dengan $1+2+3=6$.

Jawaban C.